簿記1級に必要な数学基礎力講座(割引計算)

第4回 数学講座 割引計算

日商簿記1級では、商会、工原に関わらず、随所で割引計算が登場します。

  • 貸倒引当金(CF見積法)
  • 減損会計
  • リース会計
  • 退職給付会計
  • 償却原価法(利息法)
  • 資産除去債務
  • 設備投資意思決定会計

複利計算と割引計算とは

複利計算と割引計算は、貨幣の時間価値に関する計算です。もっともイメージしやすい例は、銀行にお金を預け入れた場合でしょう。年利10%で銀行に100万円を預け入れると1年後には110万円、2年後には121万円になります。つまり現在の100万円と1年後の110万円、2年後の121万円は同じ価値であるとみなすのです。これを貨幣の時間価値といいます。

現在の100万円を基点としたとき、2年後の121万円を「終価」といい、それを求める計算方法を「複利計算」といいます。逆に、2年後の121万円を基点としたとき、現在の100万円を「現在価値」といい、これを求める計算方法を「割引計算」といいます。

簿記の試験では、割引計算によって現在価値を求めるケースがほとんどです。設備投資意思決定において、ごくまれに終価計算が出てきます。

割引計算の重要性

割引計算は、簿記でも随所に登場しますが、身近なところでもよく利用されています。例えばローン計算(住宅ローンや車のローンなど)は、すべて割引計算にもとづいています。
最近はサラリーマン大家さんなんていうのが流行っていますが(2017年現在)、この不動産投資の利回り計算も割引計算にもとづきます。
このように、長期に渡りキャッシュフローが生じるような計算は、割引計算が必要不可欠です。知っておけば一生使えるお得なスキルです。

複利計算と終価係数

今、100万円を年利率10%の銀行に預けると、1年後、2年後、3年後にはいくらになるか。複利計算により元金と利息の合計額を見ていきましょう。

1年後:100万円×1.1=110万円
2年後:100万円×1.1×1.1=121万円
3年後:100万円×1.1×1.1×1.1=133.1万円

2年後と3年後に注意してください。年利率が10%だからといって、2年で20%、3年で30%の利率と考えてはいけません。それは単利計算といって、利息がつくたびにそれを払い戻した場合の計算です。利息を預けっぱなしにしておけば、その利息がまたさらに利息を生むため複利計算となり、2年で21%、3年で33.1%の利息がつきます。

上記式は、次のようにも書き換えられます。

1年後:100万円×1.1=110万円
2年後:100万円×1.21=121万円
3年後:100万円×1.331=133.1万円

この1.1、1.21、1.331のことを終価係数といいます。つまりn年後の終価係数は、(1+利率)nで表されます。

割引計算と現価係数

設問

3年後に、元利合計100万円をもらうためには、今、いくら預ければよいか。年利率10%、複利計算により計算しなさい(円位未満四捨五入)。

計算方法

さきの複利計算の逆です。現時点での預入額をXとします。

X×1.1×1.1×1.1=100万円
X=100万円÷1.331
X=100万円×(1÷1.331)
X=100万円× 0.7513148…
X≒751,315円(円位未満四捨五入)

この0.7513148…のことを現価係数といいます。
つまりn年後の現価係数は、1÷(1+利率)nで表されます。

現価係数表

現価係数を年数と割引率によって一覧にしたものが現価係数表です。

  2% 4% 6% 8% 10%
1年 0.9804 0.9615 0.9434 0.9259 0.9091
2年 0.9612 0.9246 0.8900 0.8573 0.8264
3年 0.9423 0.8890 0.8396 0.7938 0.7513
4年 0.9238 0.8548 0.7921 0.7350 0.6830
5年 0.9057 0.8219 0.7473 0.6806 0.6209

年金現価係数

毎年一定額をもらう(または支払う)ことを年金と言います。年金の現在価値はどのように計算をすればよいのでしょうか。

設問

年利率を10%、今後3年間にわたり毎年100万円をもらう場合の現在価値を計算しなさい(円位未満は四捨五入)。

計算方法と解答

1年後の100万円の現在価値:100万円÷(1.+0.1)≒909,091円
2年後の100万円の現在価値:100万円÷(1.+0.1)2≒826,446円
3年後の100万円の現在価値:100万円÷(1.+0.1)3≒751,315円
合計:2,486,852円

解説

この解答の2,486,852円は、何を表しているのでしょうか。これは、年利率が10%なら、現時点で2,486,852円をもらっても、今後3年間に渡って、毎年100万円をもらっても、その価値はどちらも同じであることを表しています。

100万円が2,486,852円になるわけですから、2.486852倍になっています。この係数を年金現価係数といいます。年金現価係数を年数と割引率によって一覧にしたものが年金現価係数表です。

  2% 4% 6% 8% 10%
1年 0.9804 0.9615 0.9434 0.9259 0.9091
2年 1.9416 1.8861 1.8334 1.7833 1.7355
3年 2.8839 2.7751 2.6730 2.5771 2.4869
4年 3.8077 3.6299 3.4651 3.3121 3.1699
5年 4.7135 4.4518 4.2124 3.9927 3.7908

年金現価係数は、現価係数の合計値です。例えば3年の年金現価係数は、1年後と 2年後と3年後の現価係数の合計です。確認してみてください。

年金現価係数を用いた計算の確認

さきに「年利率が10%なら、現時点で2,486,852円をもらっても、今後3年間に渡って、毎年100万円をもらっても、その価値はどちらも同じ」と解説しました。これ、本当でしょうか。金利10%の銀行に2,486,852円を預けたと仮定してシミュレーションをしてみましょう。

  • 1年後:2,486,852円(10%金利がつき)2,735,537円
    ここで100万円おろして、残1,735,537円
  • 2年後:1,735,537円(10%金利がつき)1,909,091円
    ここで100万円おろして、残909,091円
  • 3年後:909,091円(10%金利がつき)1,000,000円
    ここで100万円おろして終了

 このように、2,486,852円は毎年100万円もらうのと全く同じ価値であることがわかります。

割引現在価値計算の簿記論点での利用

割引現在価値計算の実践例をみていきましょう。割引現在価値計算を使う論点は、いくつもあるのですが、ここでは、商業簿記から貸倒懸念債権におけるキャッシュ・フロー見積法を、原価計算から設備投資意思決定会計の設例を紹介します。

貸倒懸念債権におけるキャッシュ・フロー見積法

キャッシュ・フロー見積法とは、貸倒懸念債権における貸倒見積高を算定する方法です。債権のキャッシュ・フロー回収予想額を当初約定利子率で割引計算し、債権金額との差額から貸倒見積高を計算します。

分かりにくいですね。具体例で考えてみましょう。

1/12/31に、1万円を年利率10%で貸し付けて、毎年利息をもらい4年後(5/12/31)に元利ともに返済してもらう契約をしていたとします。貸付日からちょうど1年経過(2/12/31)して、1回目の利息1,000円を払ってもらった直後に、債務者から「あと3回支払いあるけど、当初の約束どおりには返せないので、利率を2%に変更して」とお願いされたとします。

「いやだよ」と返事したら「条件変更してくれないと、うちの会社潰れるので、1円も返せなくなっちゃうよ」と脅されて「え〜しょうがないな。じゃあ利率を2%に引き下げるよ」といったケースです。

こういうケースって、金利引き下げをお願いされるくらいですから正常債権とは言い難く、かといって、まだ潰れたわけでもないから不良債権でもなく、中途半端な状態です。これを貸倒懸念債権といいます。字のごとくですね。

貸倒懸念債権の貸倒引当金の設定は、一般債権のように過去の貸倒実績率に基づくというわけにはいきません。もう少し厳し目に設定する必要があります。それが「キャッシュ・フロー見積法」です。

キャッシュ・フロー見積法の計算方法(設定時)

キャッシュフロー見積法による貸倒見積高の計算をしていきましょう。

まずは、もともとの条件である毎年1,000円の利息をもらい、3年後には元利合計11,000円を回収するというケースの現在価値を計算してみましょう。当初約定利子率は10%ですから、現価係数表の10%の欄から数値を引用します。

1,000円×0.9091+1,000円×0.8264+11,000円×0.7513=9,999.80≒10,000円

このように、現在価値を計算すると1万円となります。だからこそ、B/Sには「貸付金1万円」として計上していたわけです。ところが、金利を2%に変更する条件を受け入れたわけですから、計算しなおさなければいけません。

200円×0.9091+200円×0.8264+10,200円×0.7513=8,010.36円≒8,010円

つまり、債権の額面は1万円と書かれてはいるものの、その価値は8,010円であるとみなせるわけです。この差額1,990円を貸倒見積高とします。そこで、次の仕訳を切ります。

(貸倒引当金繰入)1,990(貸倒引当金)1,990

キャッシュ・フロー見積法の計算方法(翌年以降)

さて、さらに1年経ち(3/12/31)無事約束どおり、200円の利息をもらえたとします。

(現金)200(受取利息)200

そのほかには、どういった仕訳を切ればいいのでしょうか。まず、この時点での債権の現在価値を計算してみましょう。

200円×0.9091+10,200円×0.8264=8,611.1円≒8,611円

8,611円となりました。ということは、貸倒見積高は債権金額1万円との差額である1,389円です。つまり、1,990円の貸倒見積高が601円減少したわけです。仕訳としては次のようになります。

(貸倒引当金)601(貸倒引当金戻入)601

あとは、毎年、同じ計算を繰り返せばいいわけです。以下に元利返済までの仕訳を示します。 

  借方科目 金額 貸方科目 金額
2/12/31 利子受取 現金 1,000 受取利息 1,000
引当金設定 貸倒引当金繰入 1,990 貸倒引当金 1,990
3/12/31 利子受取 現金 200 受取利息 200
引当金設定 貸倒引当金 601 貸倒引当金戻入 601
4/12/31 利子受取 現金 200 受取利息 200
引当金設定 貸倒引当金 662 貸倒引当金戻入 662
5/12/31  元利受取 現金 200 受取利息 200
      貸付金 10,000
引当金設定 貸倒引当金 727 貸倒引当金戻入 727

キャッシュ・フロー見積法の見方を変えてみる

さきの解説では、毎年12/31に、その時点での将来CFの現在価値を求めて、前年との差額から貸倒引当金戻入の額を算定してきました。

      将来CFの現在価値 戻入 受取利息
2/12/31 200円×0.9091+200円×0.8264+10,200円×0.7513= 8,010    
3/12/31 200円×0.9091+10,200円×0.8264= 8,611 601 200
4/12/31 10,200円×0.9091= 9,273 662 200
5/12/31     10,000 727 200

例えば、3/12/31の貸倒引当金戻入額601円は、①8,010と②8,611の差額です。さらに、このとき200円の受取利息を得ています。合計801円の収益があったわけです。

これ、ちょっと考えてみてください。2/12/31の時点で8,010を貸し付けていたわけですよね。そして、1年が無事に経過したわけですから、その利子率10%が収益として得られるはずです。

8,010円×10%=801円

貸倒引当金戻入額と受取利息の合計額と一致しています。これは偶然ではありません。数学的に必然です。このように、801円は、8,010円を1年間貸し付けていたことによって得られたわけですから受取利息であるとも考えられます。そのうち200円を現金で回収し、残り601円を貸倒引当金の取り崩しに使ったわけです。そう考えると、貸倒引当金戻入額は受取利息とも言えるわけです。事実、貸倒引当金戻入額に代えて受取利息勘定を使用することもあります。

このように、割引計算による計算は、年々の将来CFの現在価値の差額から計算することも出来ますし、将来CFの現在価値に利子率を掛けた利息から計算することもできます。数学的にはどちらでも全く同じことで、同じ解答になります(現実は端数処理により1円程度の誤差が生じる可能性があります)。

この2つの解法は、リース会計や有価証券の償却原価法(利息法)などでも登場しますので、しっかり押さえておきましょう。

設備投資意思決定会計

設例

2/12/31に、1億円を調達しビルを建設した。年々200万円の家賃収入が得られる予定であり、5/12/31には、家賃収入を得たあと、1億円で売却出来る予定である。資本コスト率10%として、正味現在価値を計算しなさい。なお、以下の現価係数表を使用し、解答は、最終値において万円未満で四捨五入すること。

  1年 2年 3年 4年 5年
10% 0.9091 0.8264 0.7513 0.6830 0.6209

解答

△1,990万円

解説

  CF 現価係数 現在価値
2/12/31 △10,000万円 1 △10,000万円
3/12/31 200万円 0.9091 181.82万円
4/12/31 200万円 0.8264 165.28万円
5/12/31 10,200万円  0.7513 7663.26万円
合計     △1,990万円
(△1,989.64万円を万円未満四捨五入)

上記の貸倒懸念債権におけるキャッシュ・フロー見積法の問題と数値設定を同じにしました。片や商業簿記、片や設備投資意思意思決定会計の問題ですが、計算自体はほとんど同じであり、貸倒見積高と正味現在価値が同じであることを確認してください。 

電卓(シャープ・キヤノン製)での割引現在価値計算

割引計算は電卓で非常に簡単に計算できます。この計算方法を知らないと、計算効率が極めて悪くなるため是非、押さえてください。さきの貸倒懸念債権におけるキャッシュ・フロー見積法を電卓で操作してみましょう。

割引計算の基本

操作方法 電卓の表示 意味
1.1÷= 0.90909… 1年10%の現価係数
0.82644… 2年10%の現価係数
0.75131… 3年10%の現価係数
0.68301… 4年10%の現価係数
0.62092… 5年10%の現価係数
GT 3.79078… 5年10%の年金現価係数

最初の 1.1÷= は逆数計算です。1÷1.1=と同じ意味ですあり1年目の現価係数を表します。
続いて、=を押すと繰返し計算となります。1÷1.12 が計算されます。2年目の現価係数です。
あとは、その繰り返しです。最後に、GTを押すと、それまでに計算した現価係数の合計が計算されます。つまり年金現価係数です。

設備投資意思決定の本試験の問題では、多くの場合、現価係数が与えられます。この場合、問題文の現価係数を合計して年金現価係数を計算しますが、その場合でも上記計算方法による年金現価係数と比較し確認するとよいでしょう。

キャッシュ・フロー見積法の問題を電卓で操作する

利息
1年後の200円の現在価値:200÷1.1=181.81…
2年後の200円の現在価値:200÷(1.1*1.1)=165.28…
3年後の200円の現在価値:200÷(1.1*1.1*1.1)=150.26…

元金
3年後の10,000円の現在価値:10,000÷(1.1*1.1*1.1)=7,513.14…

貸付金の割引現在価値
上記すべての合計で、8,010.5184…

貸倒見積高
10,000-8,010.5184=1,989.4815…

電卓操作(元金を先に計算して後から利息を計算する方法)

操作方法 電卓の表示 意味
1.1÷=== 0.751314… 10%3年の現価係数が表示されます。
×10000 M+ 7513.14… 元金の現在価値をメモリーに入れます
GT 2.48685… 年金現価係数が呼び出されます。
×200 M+ 497.3703… 利息分の現在価値をメモリーに足し込みます
RM 8,010.5184… 利息と元金の現在価値が表示されます。
-10000= +/- 1,989.4815… 貸倒引当金繰入の額が表示されます。

電卓操作(利息を先に計算して後から元金を計算する方法)

操作方法 電卓の表示 意味
1.1÷===GT 2.48685… 10%3年の年金現価係数が表示されます。
×200 M+ 497.3703… 利息分の現在価値をメモリーに入れます
10000÷1.1===M+ 7513.14… 元金の現在価値をメモリーに足し込みます
RM 8,010.5184… 利息と元金の現在価値が表示されます。
-10000= +/- 1,989.4815… 貸倒引当金繰入の額が表示されます。

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簿記1級に必要な数学基礎力講座(割引計算)” に対して1件のコメントがあります。

  1. ひろりん より:

    電卓操作の表の最後の行なのですが、ここは10,000でしょうか?
    シャープの電卓なのですが、最後の+/-の処理は何でしょうか?

    それと貸倒懸念債権について、記事では「簿価」が示されてますが、B/S上は直接減額できたでしょうか?
    破産更正債権等では直接減額の処理もありましたよね?

    あと、貸倒引当金戻入について「TAC簿記の教科書」では原則「受取利息」になってますね。先生の記事を読みながら教科書の説例やって理解しましたが、教科書だけの独学では意味がわかりませんでした。。

    1. pro-boki より:

      >シャープの電卓なのですが、最後の+/-の処理は何でしょうか?

      ご指摘ありがとうございます。修正しました。

      >それと貸倒懸念債権について、記事では「簿価」が示されてますが、B/S上は直接減額できたでしょうか?破産更正債権等では直接減額の処理もありましたよね?

      B/Sの貸付金が1万円で対応する貸倒引当金が1,990円だとします。
      多分、ひろりんさんは、1万円が簿価だ、という意味で捉えていますよね。

      簿価の定義をwikiで調べると次のように書かれています。
      「簿価(ぼか、book value)とは、資産または負債について適正な会計処理の結果として帳簿に記入されている数値の純額をいう。 帳簿価額の略称であり、帳簿残高とも称する。対する言葉として時価がある。
      たとえば、固定資産について、当該勘定には取得原価で記入されているが、それに対応する減価償却累計額勘定に償却累計額が 記入されている場合には、取得原価からこの累計額を差し引いた額が当該資産の簿価である。」

      この解説に基づけば、8,010円が簿価です。
      「純額」という点がポイントです。
      なお、ネット情報だけでは心もとないので、桜井先生と(故)武田隆二先生の著作でも確認しました。簿価の定義の明確な記載は見つけられませんでしたが、意味合いとしては純額という意味で文中使用されています。ですので、上記例では、8,010円が簿価となると思います。

      問題は、特定の債権にどれだけの貸倒引当金が対応しているのかを正確に把握できるのか?という点です。破産更生債権等は大丈夫でしょう。個別に算定していますから。一方、一般債権は微妙ですよね。複数の債権をごっそりひとまとめにして、一律で平均の貸倒実績率掛けちゃっていますから。ここで、貸倒懸念債権のCF見積法ですが、これは、個別算定ですので対応していると言えるでしょう。

      ただ、確かに誤解されやすいところですよね。そこで、誤解の無い表記に変更しました。
      ご指摘ありがとうございました。

    2. ひろりん より:

      ご丁寧にありがとうございました。

      簿価と聞くと単純にB/S記載の数値だと思ってました。
      純額と聞いて納得しました。

      それと追加で質問いいでしょうか?
      これまでテキストやらネットやら、いろいろ調べたんですが、なんだかしっくりこないものがありまして。。

      取得原価、取得価額など、○○価額や○○価格、○○原価の区別がどうにも頭でまとめられません。

      何か良い例はないでしょうか?

    3. pro-boki より:

      >取得原価、取得価額など、○○価額や○○価格、○○原価の区別がどうにも頭でまとめられません。

      質問掲示板に書いて頂いた質問ですね。遅くなってごめんなさい。
      取得原価、取得価額については、回答しましたのでご覧になってください。
      https://pro-boki.com/forums/topic/%E5%8F%96%E5%BE%97%E5%8E%9F%E4%BE%A1%E3%81%A8%E5%8F%96%E5%BE%97%E4%BE%A1%E9%A1%8D%E3%81%AE%E5%8C%BA%E5%88%A5

      なお、価額と価格も、一応、価額は総額、価格は単価、という説もありますが、例外もあるようです。

      まあ、慣例的に覚えるしか無いと思います。
      例えば取得価額はあっても、取得価格なんていう言葉はありません。
      また、製品価格はあっても、製品価額という言葉もありません。
      それから、帳簿価額はあるけど、帳簿価格はありません。
      あとは・・市場価格とはいうけど市場価額とは言いませんね。
      なぜかはよく分かりません。普段、そう言っているからとしか・・・

    4. ひろりん より:

      先生、こちらでもありがとうございました。

      そうですよね。
      帳簿価額は使うけど、帳簿価格は使わない、など慣習というか、出てきませんよね。

      ただ、1級の勉強初期の段階では、例えば「減損」の問題で、理論穴埋めが出た場合、割引前将来CFと比較するのは帳簿価額?帳簿価格?どっちだっけ?で、間違えた場合、それで1点2点減点されるのは痛いですよね。

  2. ひろりん より:

    あ、電卓操作の表、なおってましたね。
    すみません。

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