第３回 数学講座 方程式

連立方程式が登場する簿記１級論点は次の３つです。

• 部門別計算の補助部門費配賦法の一つである連立方程式法
• 直接原価計算における固変分解の一つである最小二乗法
• 最適セールスミックスで登場する線形計画法（リニアプログラミング）

連立方程式としては、どれもシンプルで解法も同じです。学術的には「なぜこのような連立方程式になるのか」が重要ですが、そのようなことは実学である簿記の試験では出題されません。1級合格を目指す観点からは立式（方程式の立て方）と解法だけを覚えれば十分です。

テキスト執筆時に、最小二乗法の公式がなぜあのような形になるのか、どのように導くのかを、偏微分を用いて解説し出版社に提供しました。ものの数秒で華麗にカットされました。まあそういうことです。

方程式を解くにあたっての前提ルール

最初に、方程式を解くにあたっての前提ルールを紹介します。超基本です。さすがに、ここは大丈夫だよ、という方はスルーしてください。

数式の表記上のルール

• 「×」記号は、省略される。つまり、ａ×ｂ は ａｂ と表記される。
• 「÷」記号は、省略され分数表記される。なおブログでの分数表記は困難なので、本記事では、「÷」記号を使う。
• 文字と数値の積は、数値を先に書く。例えば、ａ×5のような場合、5ａと表記する。
• 文字に1を掛けたり、−1を掛けた場合、1は省略する。つまり　−1×ａ は、−ａと表記する。

数式の基本ルール

• 数式は基本、左から右に向かって計算するが、加減（足し算と引き算）と乗除（掛け算と割り算）が混じっているときは、乗除を優先する。例えば、10−2×3 は、先に2×3＝6を計算して、10−6＝4と計算する。
• 数式は基本、左から右に向かって計算するが、カッコがあるときは、そちらを優先する。例えば、10−4×（3−1）は、（3−1）が最優先で、2を先に計算し、続いて先に4×2＝8を計算して、最後に10−8＝2と計算する。
• 割り算は、逆数の掛け算と一緒。例えば、4で割ることは、1/4 を掛けることと一緒。
• マイナス同士を掛けるとプラスになる。例えば、−3×−2＝6
• 100％と1は同じである。10％と0.1も同じである。両者の違いは表記方法だけである。

等式のルール

Ａ＝Ｂなら、次のルールが成り立つ

• 両辺にCを足しても等式は成り立つ。つまり、Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ
• 両辺からCを引いても等式は成り立つ。つまり、Ａ−Ｃ＝Ｂ−Ｃ
• 両辺にCを掛けても等式は成り立つ。つまり、ＡＣ＝ＢＣ
• 両辺を0以外のCで割っても等式は成り立つ。つまり、Ａ÷Ｃ＝Ｂ÷Ｃ 

分配法則

• Ａ（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ
• Ａ（Ｂ−Ｃ）＝ＡＢ−ＡＣ

移項と同類項

• 5a+12＝3a　といった式において、5a、12、3aのことを「項」という。この項は左辺から右辺、もしくは、右辺から左辺へ移せる。これを移項という。移項するときは、プラスマイナスを逆にすればいい。
• 例えば、上記式において、3aを移項すると、5a−3a+12＝0となる。
• この 5a と 3a のように文字が同じ「項」のことを同類項という。同類項は、まとめることができる。つまり、5a−3a＝2a　である。
• 文字が異なる「項」は、まとめられない。つまり、5a−3b　は、これ以上まとめられない。

一元一次方程式の解き方

一元一次方程式というと難しそうですが、要するに文字が１つしかない簡単な方程式のことです。上記の数式ルールを使って解きます。

解くコツは、分配法則により、項をばらし、移項によって、数値は数値、文字は文字で、項をまとめることです。そして最終的に「文字の項＝数値」という形に持っていきます。

設例１（簡単）

売上高に対する変動費率は50％、固定費は3,000万円であり、営業利益に対する法人税等税率は40％であった。税引後営業利益が600万円であるとき、売上高はいくらか。

【解答・解説】

売上高をｘとすると、次の方程式が成り立ちます。

（0.5ｘ−3,000万円）×（１−40％）＝600万円

これを解きます。

0.6（0.5ｘ−3,000万円）＝600万円
0.3ｘ−1,800万円＝600万円・・・分配法則によりばらした
0.3ｘ＝600万円+1,800万円・・・1,800万円を移項した
0.3ｘ＝2,400万円
ｘ＝8,000万円・・・両辺を0.3で割った

設例２（すこし難しい）

前期は、売上高に対する変動費率は30％、固定費は3,500万円であり、安全余裕率は20％であった。当期は、売上高が4％低下する見込みであるが、固定費の削減により、前期と同じ安全余裕率20％を確保する予定である。固定費をいくら削減すればよいか。なお、変動費率は変わらないものとする。

【解答・解説】

こういった文章題は「何をｘとすればよいのか」の判断が鍵となります。一般にシンプルな問題であれば、問われていること（本問は固定費削減額）をｘとするのが常套手段です。

しかし、本問は、安全余裕率の確保を問題にしているにも関わらず、そもそも売上高が不明です。それでは営業利益も貢献利益も安全余裕率も計算のしようがありません。そこで、まずは、売上高を求めることから考えていきましょう。なお、本問を解くにあたり、安全余裕率＝営業利益÷貢献利益 という式を用いています。

前期売上高をｘとすると、次の方程式が成り立ちます。（0.7ｘは貢献利益を、0.7ｘ−3,500万円は営業利益を表しています）

（0.7ｘ−3,500万円）÷0.7ｘ＝20％

これを解いていきます。

0.7ｘ−3,500万円＝20％×0.7ｘ・・・両辺に0.7ｘを掛けた
0.7ｘ−3,500万円＝0.14ｘ
0.7ｘ−0.14ｘ＝3,500万円・・・3,500万円と0.14ｘを移項した
0.56ｘ＝3,500万円
ｘ＝6,250万円・・・両辺を0.56で割った

当期は、対前期で売上が4％低下する見込みですので、売上高と貢献利益は次のとおりです。

売上高：6,250万円×0.96＝6,000万円
貢献利益：6,000万円×0.7＝4,200万円

したがって、当期の固定費をｘとすると、次の方程式が成り立ちます。

（4,200万円−ｘ）÷4,200万円＝20％

これを解いていきます。

4,200万円−ｘ＝20％×4,200万円・・・両辺に4,200万円を掛けた
4,200万円−ｘ＝840万円
−ｘ＝840万円−4,200万円
ｘ＝3,360万円

よって、前期3,500万円であった固定費を3,360万円まで、140万円の削減ができれば、前期同様20％の安全余裕率を確保できるわけです。

連立方程式の解き方

連立方程式とは、２つ以上の文字からなる方程式のことです。連立方程式は、文字の数だけ方程式が必要です。つまり、文字が３つなら、式も３つ必要となるわけです。簿記の試験では、補助部門費配賦計算で最大３つの連立方程式が考えられますが、通常は２つまでの式に対応できれば、十分です。

連立方程式の基本的な解法手順は、文字を消していくことです。もし３つの文字があるのなら、まず２つにすることを目指し、さらに１つにすることを目指します。

文字の消し方には「代入法」と「加減法」があります。

設例１（代入法）

次の連立方程式を代入法で解きなさい。

ｘ＋ｙ＝10・・・①
2ｘ＋4ｙ＝28・・・②

【解答・解説】

代入法は、どちらかの式をｘ（もしくはｙ）について解き、もう片方の式に代入することで、文字を消す方法です。

例えば、①の式をｘについて解くと次のようになります。（yを移項）

ｘ＝10−ｙ・・・③

これを②の式に代入します。

2ｘ＋4ｙ＝28
2（10−ｙ）＋4ｙ＝28
20−2ｙ＋4ｙ＝28
−2ｙ＋4ｙ＝28−20
2ｙ＝8
ｙ＝４

このようにして③を②の式に代入してｘを消去し、ｙだけの式にします。そうすれば、先の方程式と同じ解法によりｙが判明します。これを①の式に代入すればｘも判明します。

ｘ＋ｙ＝10
ｘ＋４＝10
ｘ＝6

設例２（加減法）

次の連立方程式を加減法で解きなさい。

ｘ＋ｙ＝10・・・①
2ｘ＋4ｙ＝28・・・②

【解答・解説】

加減法は、①の式と②の式のｘ（もしくはｙ）の係数をそろえて、式全体を加減することで、文字を消去する方法です。

例えば、ｘを消してみましょう。①の式の両辺を２倍します。

2ｘ＋2ｙ＝20・・・③

これで、ｘの係数が揃ったので、②の式から③の式を引きます。

2ｘ＋4ｙ＝28・・・②
2ｘ＋2ｙ＝20・・・③

2ｘ同士は消えて、左辺は4ｙ−2ｙになり、右辺は、28−20となります。

4ｙ−2ｙ＝28−20
2ｙ＝8
ｙ＝4

ｙが判明したので、これを①の式に代入すればｘも判明します。

ｘ＋ｙ＝10
ｘ＋４＝10
ｘ＝6

連立方程式を解く際の注意点

連立方程式のｘ，ｙと、1次関数のｘ，ｙ

1次関数「ｙ＝ａｘ＋ｂ」では、ｘは入力、ｙは計算結果、という関係性にあります。例えば、操業度と費用の関係を公式法変動予算で表すとき、ｘは操業度を表し、ｙは費用を表します。ｘとｙの役割と関係性は決まっていますので、勝手に違う文字にすることはできません。

一方で、連立方程式のｘとｙは、たまたま、不明な値が２つあったので、片方をｘに、もう片方をｙにしただけの話です。ですから、ｘとｙが逆でも構いません。もっと言えば、ｘとｙである必要もありません。ｐとｑとか、□と△でも構いません。

代入法を使うべきか加減法を使うべきか

どちらでも構いません。手間も変わりません。あえて言えば、ぱっと見て、同じ係数を持つ項があるのなら（例えば、２つの式のどちらもｘの係数が３など）加減法が速いでしょう。逆に、係数が複雑な場合（例えば少数とか分数）なら、代入法が計算しやすいようです（経験則です）。

連立方程式を解いたあと

必ず検算をしましょう。方法は簡単です。最初に与えられた方程式に、解であるｘとｙを代入するだけです。式が成立していることを確認してください。時間にして１分も掛かりません。この手間を惜しまないようにしてください。

立式（方程式を立てる）

立式とは、文章題から方程式を作ることです。何をｘ、ｙにすればいいのか、文章で書かれた関係性をどう式にするのか、といったあたりの感覚が掴みづらく、慣れないと難しい作業です。

立式には、いくつかのコツがあります。しかし、その多くは感覚的なもので、なかなか「こうすれば必ず立式できる」といったスッキリした理論ではありません。最終的には、問題数をこなし慣れることが習得の近道だと考えます。

なお、簿記１級に限定するなら、連立方程式は、冒頭に紹介した３つの論点でしか登場しません。これらの立式は、パターン化されていますので、覚えてしまったほうが圧倒的に効率的です。

この他、CVP分析や業務的意思決定などで方程式が必要となることもあります。しかし、連立になることはほとんどなく、立式で悩むことは無いと思われます。

最後に立式の実践例を紹介しましょう。

設例

商品Aの販促費を検討している。1個あたり3円の販促費を掛けると20万円の予算オーバーとなる。1個あたり2円で済ませると、30万円予算が余る。販促費予算はいくらか。

【解答】130万円

【連立方程式を用いた方法】

通常、文章題を立式するときは、解答要求されているものをｘとします。そこで販促費予算をｘとして「20万円の予算オーバー」を、ｘ＋20万円と表記します。さて、1個あたり3円の販促費を掛けるといっても、販売数量が不明です。そこで、販売数量をｙとします。すると次の式が成立します。

3ｙ＝ｘ＋200,000・・・①

同様に、1個あたり2円の販促費の場合、30万円余るので、次の式が成立します。

2ｙ＝ｘ−300,000・・・②

この連立方程式を解きます。ｘの係数が同じなので加減法が有効です。①−②を計算します。

3ｙ−2ｙ＝（ｘ−ｘ）+200,000−（−300,000）
ｙ＝500,000個

ｙを①の式に代入します。

3×500,000＝ｘ＋200,000
ｘ＝1,300,000円

【連立にしない方法】

販売数量をｘとおくと、次の式が成立します。（左辺、右辺ともに販売費予算を表す）

3ｘ−200,000＝2ｘ＋300,000・・・③

これを解くと、

3ｘ−2ｘ＝200,000＋300,000
ｘ＝500,000個

これを③に代入すると

3×500,000−200,000＝2×500,000＋300,000
1,300,000＝1,300,000

検算とともに、販売費予算が1,300,000円であると判明します。

【解説】

このように、解答に至る方法は１つではありません。本問の場合、効率の良い立式は後者です。連立方程式にしなくても済むのなら、そうすべきです。連立方程式は計算量も増えますし、ミスも発生しやすいからです。（しかし、その方法が思い付かないのであれば、連立方程式にしてしまうのも悪い方法ではありません。）

連立方程式にしない方法（少ない文字で立式するコツ）は、次のとおりです。

例えば、「製品ｘと製品ｙを合計で1万個販売する予定で・・・」という問題の場合、製品ｘの数量をｘ、製品ｙの数量をｙ、としてしまいがちです。すると連立方程式になってしまいます。

しかし、ｘとｙの合計は1万個と判明しているのですから、ｙは、10,000−ｘで表すことが出来ます。つまり「ｘ」と「10,000−ｘ」を使って立式出来るわけです。すると文字が１つで済み、連立にする必要がなくなります。

方程式の練習問題

練習問題を解いてみましょう。簿記で出題されそうな問題を用意しました。解き方は１つではありません。解けた方は、より効率的に解く方法を考えてみてください。先にも書きましたが、可能なら、連立方程式は使わないほうが効率的です。さらに言えばそもそも方程式を使わなくて済むのなら、その方が効率的です。

設例１

建物Aは20X1年10月1日に取得したものであり、残存価額は取得原価の10％、耐用年数20年、定額法で減価償却している。20×7年3月31日における決算整理前残高試算表における建物Aの簿価は6,380万円である。当期の建物Aの減価償却費を求めなさい。（日商簿記1級123回改題）

解答と解説（クリックで開きます）

解法１

取得原価をｘとします。
償却済みの分は、20X1年10月1日〜20X6年3月31日までの4.5年です。
よって、次の式が成り立ちます。
X−0.9X÷20×4.5＝6,380万円
これを解いて、X=8,000万円
減価償却費は、8,000万円×0.9÷20＝360万円です。

解法２

取得原価を１とします。すると、簿価は１−0.9÷20×4.5＝0.7975　です。
つまり、取得原価を100％とすると、現時点での簿価6,380万円は、取得原価の79.75％を占めていることが分かります。よって、取得原価は、6,380万円÷79.75％＝8,000万円です。

コメント

受験テクニックとして是非マスターして頂きたいのが解法２です。具体的に何がすごいかというか、計算過程が分かりやすく、かつ電卓一発で答えが出せるからです。

以下、実際の電卓の操作です。
.９÷２０×４．５＝−１＝÷＝６３８０＝
これで8,000を求めることが出来ます。
ちょっと解説しましょう。

.９÷２０×４．５＝・・・（0.2025と表示されます。償却済み分ですね）
−１＝・・・・・・（−0.7975と表示されます。簿価分ですね）
÷＝６３８０＝・・・・・・（−8000と表示されます。6380÷0.7975を計算しています。）

ということです。本試験でもとても有用ですので、是非練習してマスターしてください。

設例２

取引先より部品αの注文を受けた。この注文を機械Aのみで生産すると10時間掛かり、機械Bのみで生産すると15時間掛かる。機械Aと機械Bを同時併用すると何時間で生産できるか。

解答と解説（クリックで開きます）

解法１

注文量をｘとします。
機械Aの生産速度をａとすると、ａ＝ｘ÷10
機械Bの生産速度をｂとすると、ｂ＝ｘ÷15
機械AとB、同時併用時の生産時間は、
　ｘ÷（ａ＋ｂ）
＝ｘ÷（ｘ÷10＋ｘ÷15）
＝6

解法２

注文量を150とします。
機械Aの生産速度は、150÷10＝15
機械Bの生産速度は、150÷15＝10
機械AとB、同時併用時の生産時間は、
　150÷（10＋15）＝6

コメント

これも、設例１と同様、受験テクニックとしてマスターして頂きたい解法です。つまり、何でもかんでも方程式にすればいいってもんじゃないということです。
もちろん、解法１でも構いません。しかし、分数同士の合計のさらに分数とか、はっきり言って面倒ですし、こういう計算はミスを誘引します。こういうときは、数値の仮置きがおすすめです。圧倒的に簡単に計算できます。

さて、設例１も設例２も「数値の仮置き」をお勧めしたわけですが、では、具体的にどういった数値を仮置きすればいいのでしょうか。

まずよく分からなければ１と置けば確実だ、ということです。１は100％と同じ意味ですから、導きだした答えは、仮置数値に対する割合を示します。この意味で、相関関係が分かりやすいというメリットがあります。この活用例が設例１です。一方、小数点以下の数値が出て来るので計算は多少面倒です。

設例２も注文量を１として計算する方法もあります。問題はありませんが、そうすると途中で1÷15という割り切れない数値が発生し、電卓一発での計算がしにくくなります。（下書き用紙に式を書いて解くのなら問題ありませんが、面倒です。）
こういう場合は、割り切れそうな数値（設例の２の場合、10と15の積や最小公倍数）を仮置き数値とするのがお勧めです。

設例３

新店舗の利益計画を策定中である。もし１日あたりの売上が10万円なら20日間、売上が8万円なら30日間でちょうど計画利益に到達する。もし、１日あたりの売上が12万円なら、何日間で計画利益に到達するか。なお、利益＝売上−費用で計算し、費用は売上に関わらず毎日一定額（固定額）である。

解答と解説（クリックで開きます）

解法１

1日の費用をｘとします。
　計画利益＝20（10−ｘ）
　計画利益＝30（8−ｘ）

20（10−ｘ）＝30（8−ｘ）　を解きます。ｘ＝4です。
よって、計画利益は、20（10−4）＝120です。
売上が12万円のときの計画利益到達日数は、次の式で計算できます。
　120÷（12−4）＝15

解法２

20日間の場合の売上は10万円×20＝200万円
30日間の場合の売上は8万円×30＝240万円
その差は40万円。

売上に40万円の差があるのに、同じ利益ということは、10日間営業日数が多いと費用が40万円多く掛かるということ。よって、1日あたりの費用は、40万円÷10日間＝4万円／日
これが分かってしまえばあとは解法１と同じ

コメント

種明かしをすると、この設例３は、小学６年生の算数の問題集を見ていたらニュートン算というのがあって、あ、これ、面白いなぁと思って簿記の問題用に作り直した問題です。

ニュートン算は、次のような問題です。
「ある牧場で牛10頭を放牧したところ、5日で牧草を食べつくしました。牛12頭の場合では、4日で食べつくしました。では、牛6頭の場合、何日で牧草を食べつくすでしょうか。ただし、牧草は毎日一定のペースで増えています。」

小学生の問題ですから、当然方程式は使わずに解答します。やり方を知っていれば瞬殺でしょう。暗算でもいけるレベルです。しかしやり方を知らないと結構、難儀する問題だと思います。

これは、簿記の試験でも同様のことが言えます。CVPや業務的意思決定などでは方程式を利用する問題が出題されます。やり方を知っていれば、それで瞬殺、というケースはよくあります。速いしミスも少ないので効率的です。しかし、知らないなら素直に方程式を立ててしまった方がいいでしょう。このあたり、本試験では、柔軟な姿勢で取り組んで頂きたいと思います。

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