簿記1級に必要な数学基礎力講座(1次関数)

第2回 数学講座 1次関数

簿記1級では、あらためて1次関数という表現はしないものの、その考え方と計算は頻繁に登場します。製造間接費のグラフ(シュラッター図)、固変分解、CVP分析、内部利益率を求める際の補間法など、どれも1次関数を前提としています。

1次関数は、高校・大学で理系科目を選択していた人や、小中学生時代に算数・数学が得意だった人にとっては簡単な論点です。ここで、つまづくことは無いでしょう。ですから、簿記スクールの授業でも、みなさんは理解されているという前提のもと、講義を進めてしまいます。

しかし、算数・数学が苦手だった人の中には、「関数」というだけで拒否反応を示してしまう人も少なくありません。そうなると、暗記に頼るしかなく、試験において大きなハンデとなります。この記事は、そういった方に苦手意識をなくしてもらおうと思い執筆したものです。

そのため、非常に基本的なところから解説します。ある程度、自信のある方は前半は飛ばして頂いて結構です。設例(実査法変動予算)から、読んでください。それでは、始めていきましょう。まずは関数とは何かから解説します。

関数とは

これ、どう解説するか悩んだのですが、あまりくどくど書くと逆に分かりにくくなりそうなので、シンプルに書きます。

関数とは、ある値(xとします)を入れると何かしらの計算がされて、ある値(yとします)を返すような仕組みのことだと思ってください。

例えば、100を入れたら200が返ってくる、150を入れたら300が返ってくる、500を入れたら1,000が返ってくるような仕組みがあるとします。この仕組みのことを関数といいます。

この関数、どんな計算式が入っているか、ちょっと考えてみてください。どうやら入ってきた数値を倍にして返しているらしい、ということが分かりますよね。

これを式にすると、y=2x となります。
つまり、x(入ってきた値)を2倍にして、yとして返す、という意味です。

なお、入ってくる値をx、返す値をyとするのは、絶対的な決まりではありません。他の文字を(wとかzとか)使っても構わないのですが、慣例としてxといえば入ってくる値、yといえば返す値として世間では使われています。そういうものだと思ってください。

1次関数とは

例えば、月額基本料5,000円、1回利用するたびに1,000円掛かる新宿スポーツジムがあるとします。もし、ある月に3回行ったら、その月の請求額はいくらでしょうか。

5,000円+@1,000円×3回=8,000円 ですね。

では、6回行ったら?

5,000円+@1,000円×6回=11,000円 ですね。

これ、関数で表現できることは分かりますか?つまり、何回行ったかその回数をxとすると、いくら掛かるかがyとして返ってくる関数とみなすことができます。

この関数式は、y=1,000x+5,000 です。

これを1次関数といいます。…と言われてもピンと来ないと思いますが、とりあえず、このような形をしているものを1次関数と言うと思ってください。ちなみに2次関数というのは、式の中にxの2乗の項(x2)が入っている関数です。3次関数は、式の中にxの3乗の項(x3)が入っています。1次関数以外は、簿記では出てきませんので、覚える必要はありません。

1次関数を一般化する

さきほどは新宿スポーツジムを例にしましたが、渋谷スポーツジムも同様に関数式で表してみましょう。渋谷スポーツジムは、「月額基本料10,000円、1回利用料500円」だとします。すると、次のようになります。

  • 新宿スポーツジムの料金関数:y=1,000x+5,000
  • 渋谷スポーツジムの料金関数:y=500x+10,000

このように、月額基本料と1回利用料を変更すれば、同じような料金体系のスポーツジムなら、関数式として表現できるわけです。そこで、これを一般化して、次のように表します。

y=ax+b

  • 新宿スポーツジムは、a=1,000 b=5,000
  • 渋谷スポーツジムは、a=500 b=10,000

である、と表現することも出来るわけです。

つまり、月額基本料と1回利用料だけから構成されるスポーツジムの料金は、y=ax+b という関数で表され、aとbを確定させれば、関数が完成する、というわけです。

1次関数の特徴

1次関数は、グラフにすると必ず、直線になります。
y=ax+bをグラフにすると次のようになります。

見たことありませんか?そう、シュラッター図に似てますよね。そうなのです。シュラッター図は、1次関数を分析するためのものなのです。

もし、aがマイナスだと、傾きが逆転して右下がりのグラムになります。ただし、aがマイナスのケースは簿記ではほとんど出てきません(厳密には、最適セールス・ミックスでのリニアプログラミングで出てきますが)

なお、覚えなくてもいいのですが、参考まで数学の世界ではaのことを比例定数、bのことを切片(せっぺん)と言います。

簿記と1次関数の関係

勘の良い人は、もうお分かりかもしれませんが、1次関数というのは、固定費と変動費で構成されている金額を表現するのにぴったりなんです。先の例で言えば、月額基本料が固定費、1回利用料が変動費というわけです。

そして、工業簿記や原価計算では、この固定費と変動費を求める、という問題が出題されます。典型的なのは、固変分解です。毎月の費用の情報が与えられ、これを、固定費と変動費に分解する問題です。また、全部原価計算の資料が与えられて、直接原価計算の損益計算書を作成する問題も該当します。どちらも1次関数の問題です。

固変分解の具体例を見ていきましょう。例えば、このような問題です。「操業度が300時間のときの製造間接費は800,000円、600時間のときの製造間接費は1,100,000円であった。固定費と変動費率はいくらか?」グラフにすると次のようになります。

これは、先のスポーツジムを例に取れば「新宿スポーツジムに3回行ったら8,000円請求された。6回行ったら11,000円請求された。このスポーツジムの月額基本料と1回あたりの利用料金はいくら?」という問題と全く同じです。グラフにすると次のようになります。

 

1次関数の問題の解き方(固変分解)

固変分解を例にとれば、2つの解き方が考えられます。「新宿スポーツジムに3回行ったら8,000円請求された。6回行ったら11,000円請求された。このスポーツジムの月額基本料と1回あたりの利用料金はいくら?」という問題を例に変動費率と固定費額を求めてみましょう。

方程式を使う方法

問題文から、次の2つの方程式が作れます。

  • 3a+b=8,000…①
  • 6a+b=11,000…②

この2つの方程式から、aとbを求めればいいわけです。②−①の計算をすると、
3a=3,000 、 a=1,000 と計算できます。これを①に代入すると、
3,000+b=8,000 、 b=5,000 と計算できます。

以上より、変動費率は1,000円/回、固定費額は5,000円であり、新宿スポーツジムの料金体系は、y=1,000x+5,000 と表現できます。

公式を使う方法

次の公式を用いても計算できます。

変動費率=(Bの額-Aの額)/(Bの操業度-Aの操業度)
固定費額=Bの額−変動費率×Bの操業度

本問の場合、3回行ったときをA、6回行ったときをBとすると、

変動費率=(11,000円-8,000円)/(6回-3回)
    =1,000円/回
固定費額=11,000円−1,000円/回×6回
    =5,000円

以上より、新宿スポーツジムの料金体系は、y=1,000x+5,000 と表現できます。この公式は、結果的には、上記方程式を解くことと全く同じ計算をしています。

2級で学習する高低点法について

2級で学習する高低点法は、Bを最高点、Aを最低点、と考えれば上記の公式そのものです。

設例(実査法変動予算)

少し難しい例を取り上げてみましょう。1級の工業簿記で学習する製造間接費の実査法変動予算の問題です。

実査法変動予算の設例

当工場において、製造間接費予算は、実査法変動予算によって設定し、直接作業時間を配賦基準として予定配賦している。実査法による月次製造間接費予算は以下の表のとおりであり、基準操業度は3,000時間である。
当月の実際操業度は2,950時間、実際発生額は5,465,500円であった。当月の予算差異と操業度差異を求めなさい。

直接作業時間 2,800時間 2,900時間 3,000時間
製造間接費予算 5,124,000円 5,292,500円 5,460,000円

解答

予算差異:△89,250円(不利差異)
操業度差異:△7,250円(不利差異)

実査法変動予算とは何か

製造間接費予算には、固定予算、公式法変動予算、実査法変動予算の3つがあります。公式法変動予算は、2級の工業簿記で頻出のおなじみの予算です。これは、どのような操業度であっても、常に固定費額と変動費率が一定であるという前提にもとづく計算です。

しかし、現実は、操業度が極端に多かったりすると、一般に変動費率も固定費額が上がります。それは、残業代の発生で賃金が割増になったり、予定に無かった資材の調達により余計なコストが掛かるからです。また、固定給の職員の一時的な増員も考えられます。しかし、操業度が予定よりも少し多いくらいのときは、逆に変動費率は下がります。これは、材料の調達においてボリュームディスカウントが生じるからです。

このように、製造間接費の変動費率と固定費額は、常に一定なわけではなく、操業度によって変化するものなのです。そこで、操業を区切って、その操業度ごとの予算を決めて、きめ細かく予算管理をする方法が実査法変動予算です。

解き方

固定予算、公式法変動予算、実査法変動予算の相違点は、予算許容額にあります。固定予算は、操業度に関わらず常に一定額を予算許容額とします。公式法変動予算は、操業度によって予算許容額は変化するものの予算許容額を計算するための変動費率と固定費額は一定です。実査法変動予算は、予算許容額を求めるための変動費率と固定費額が操業度によって変化するわけです。

  • 固定予算:y=546万円(操業度に関わらず予算許容額は546万円)
  • 公式法変動予算:y=ax+b(aとbは操業度に関わらず一定)
  • 実査法変動予算:y=ax+b(aとbは操業度によって変化する)

本問は、実査法変動予算ですから、予算許容線 y=ax+b におけるaとbを求めないといけないわけです。(変動費率:a、固定費額:b、操業度:x、予算許容額:y)

ここでは、方程式を用いてaとbを求めましょう。実際操業度が2,950時間です。つまり、2,900時間と3,000時間に挟まれています。そこで製造間接費予算の一覧表から、2,900時間と3,000時間における製造間接費予算をピックアップし、方程式を立てます。

  • a×2,900+b=5,292,500 ・・・操業度2,900時間
  • a×3,000+b=5,460,000 ・・・操業度3,000時間

この方程式を解くと、a=1,675、b=435,000 となり、予算許容額は、次の式で表されることが分かります。

y=1,675x+435,000

実際操業度2,950時間をxに代入して、予算許容額を求めます。
予算許容額:@1,675円×2,950時間+435,000円=5,376,250円

予定配賦率 5,460,000円÷3,000時間=1,820円/時
予定配賦額 予定配賦率×実際操業度
1,820円/時×2,950時間=5,369,000円
総差異 予定配賦額-実際発生額
5,369,000円-5,465,500円=△96,500円
予算許容額 上記式より 5,376,250円
予算差異 予算許容額-実際発生額
5,376,250円-5,465,500円=△89,250円
操業度差異 予定配賦率×実際操業度-予算許容額
1,820円/時×2,950時間-5,376,250円=△7,250円

設例(全部原価計算から直接原価計算への変換)

全部原価計算から直接原価計算への変換

以下のデータにもとづき、直接原価計算による来期損益計算書を作成しなさい。なお、変動費は売上高に比例し、変動費率と固定費額の変化はないものとして予算は策定されている。

  当期実績 来期計画予算
売上高 1,000万円 1,200万円
製造原価 600万円 680万円
販管費 200万円 220万円
営業利益 200万円 300万円

答案用紙

  来期計画予算
売上高 (     )万円
変動費 (     )万円
貢献利益 (     )万円
固定費 (     )万円
営業利益 (     )万円

解答

  来期計画予算
売上高 1,200万円
変動費 600万円
貢献利益 600万円
固定費 300万円
営業利益 300万円

解説

いろいろな解き方があります。ここでは、2つの解き方を紹介します。

【方程式を立てて解く】

直接原価計算の費用は、変動費と固定費から構成されます。変動費率をa、固定費をbとしましょう。ここで大切なことは、変動費率は、何に対して変動するのかを意識することです。一般に製造間接費などは、直接作業時間に対して変動する場合が多いです。では、本問は何に対して変動するのでしょう。問題文に書かれていますよね。売上高です。

よって、費用=売上×a+b という式が成り立ちます。そしてaとbを解明すればいいわけです。費用は、製造原価と販管費を合算したものですから、次の式が成り立ちます。

当期:800万円=1,000万円a+b
来期:900万円=1,200万円a+b

これを解くと、a=0.5、b=300万円です。変動費率50%と固定費額300万円が判明すれば、あとはお分かりだと思います。

【高低点法と同様の解き方】

「売上高1,000万のとき費用が800万円、売上高1,200万のとき費用が900万円である。高低点法により固変分解しなさい。」

という問題として捉えれば、変動費率0.5、固定費額300万円はすぐに出ますね。

【ポイント】

ほかにも、いろいろ解き方は考えられます。どのような解き方をするにせよ、次の2点に気付くかどうかが大切です。

  • 変動費率と固定費額が判明すれば解けそうだ
  • 変動費率は売上高に対してのものだ

結局、高低点法と同じ問題だよな、と気付ければ解けたも同然です。

なお、コメント欄の解き方を全て拝見しました。書かれた方は、全て理解されていると思います。なお、製造原価と販管費を分けて計算されている方がほとんどでした。もちろん、それでも結構です。


関連記事

簿記1級に必要な数学基礎力講座(1次関数)” に対して1件のコメントがあります。

  1. 熱男 より:

    富久田先生

    こん○○は。

    この記事を読んだ後、テキスト(合格のための学校)の
    実査法変動予算を復習していたところ、
    そのすぐ後の「製造間接費の差異分析を統一的に解く方法」が目に入り、
    そのまま読み進むと、”目が鱗”でした。

    シュラッター=シュラッター図の一部変形した図を
    初めて見た(?←講義で習った記憶がない…)のですが、
    ひょっとして、富久田先生が考えられたのでしょうか?

    「3つの予算方式の予算差異の違いは、予算許容線の違い」
    というのが、よくわかりました。

    ※記事からちょっと脱線したコメントで申し訳ありません。

    1. pro-boki より:

      >そのすぐ後の「製造間接費の差異分析を統一的に解く方法」が目に入り、そのまま読み進むと、”目が鱗”でした。

      これ、自信作です。反響がなくて寂しかったところです(笑)。

      >シュラッター=シュラッター図の一部変形した図を初めて見た(?←講義で習った記憶がない…)のですが、ひょっとして、富久田先生が考えられたのでしょうか?

      はい、そうです。Y講師の講義では、ここはやらないんですね。残念です。
      手前味噌ですが、この統一的に解く方法って、製造間接費の予算管理の本質を捉えていて、分かりやすいと思います。やらないのか…

  2. 柴犬 より:

    いつもプロフェショナル簿記で会計の意味を考える勉強させて頂き
    有難うございます。

    設例は
    全部原価計算は費用を製造原価と販管費に分類する。
    直接原価計算は費用を変動費と固定費に分類するんだという前提で
    考えました。

    売上が当月と来期では200万増
    それに伴う製造原価が80万増
    また販管費が20万増になっているのでこの部分が変動費になっていると
    理解し、(80万+20万)÷200万=0.5(50%)

    来期売上高1,200万×0.5=600万(=変動製造原価、変動販売費)

    1,200万-600万=600万(貢献利益)

    営業利益300万円から残りの300万(貢献利益600万-300万)を
    固定費と考えました。

    宜しくお願いします。

    1. pro-boki より:

      無駄のない良い解き方だと思います。

  3. matsuno より:

    他の書き込みをもう少し待たれるということで、私も書かせて頂きます。
    似たような内容ですけれども。

    「解答は直接原価計算P/Lなので、資料中の費用(製造原価・販管費)を
     固定費と変動費に分けることを考える。
     1.固定費額の変化はないということで、当期実績と来期予算の差は、変動費のみからなる。
       売上高・製造原価・販管費について、当期実績と来期予算の差を取り、
        売上200万に対し、変動製造原価80万・変動販管費20万。

     2.変動費は売上高に比例するということで、来期予算の変動費は1.の結果を6倍して
        売上1,200万に対し、変動製造原価480万・変動販管費120万の合計600万。
     
     3.全部の費用から2.の変動費を除き、固定費を計算する。
       来期予算の全部製造原価・販管費との差を取って、
        固定製造原価=680万-480万=200万
        固定販管費 =220万-120万=100万
       現状ではこの合計300万が毎年変わらず固定費として必要となっている。
     
     固定費と変動費がそれぞれわかったので、直接原価計算方式の来期予算P/Lを書く。」

    1. pro-boki より:

      なるほど、この解き方は面白いですね。来期分に含まれている変動費額を先に出しちゃうのですね。もちろん、この解き方でも全く問題ないです。

  4. ファイティン より:

    先生、こんばんは。
    解説と同様に1次関数を使って解いてみました。
    まず全部原価計算の表から、製造原価の変動費・固定費、販管費の変動費・固定費に分ける必要があるので、当期、来期の数字から、「製造原価」と「販管費」別々に解きます。
    「製造原価」→ Y(製造原価) = ax(当期変動製造費) + b(固定製造費)とします 。
    当期 600万 = ax + b
    来期 680万 =1.2ax + b  ・・・変動費は売上高に比例するので1.2倍です。
    この式を解くと、ax(当期変動製造費) = 400万 、 b(固定製造費) = 200万
    同様に、
    「販管費」→ Y(販管費) = a’x(当期変動販管費) + b’(固定販管費)とします 。
    当期 200万 = a’x + b’
    来期 220万 =1.2a’x + b’  ・・・変動費は売上高に比例するので1.2倍です。
    この式を解くと、a’x(当期変動管費) = 400万 、 b’(固定販管費) = 200万

    以上から「当期」を製造・販管費に分けます。
    → 変動製造費 400万、固定製造費 200万、変動販管費 100万、 固定販管費 100万
    「来期」→ 変動費を1.2倍して分けます。
    → 変動製造費 480万、固定製造費 200万、変動販管費 120万、固定販管費 100万
    ようやく、来期の直接原価P/L → 売上高 1,200万 / 変動費 480+120=600万/
    貢献利益 600万/固定費 200+100=300万/営業利益 300万
    「この式を解くと・・」大丈夫でしょうか?
    全部原価→直接原価P/Lをこのように解いたことがないので・・
    まったく別の角度から見たような気がしました。
    解説をよろしくお願いします。

    1. pro-boki より:

      考え方はバッチリ大丈夫です。matsunoさんの解き方に近いですね。

      あと、解き慣れていない感じはしました。ax を解く、というあたり立式がイマイチです。いや、気持ちはわかりますが。aを解くことはあっても、axを解くのはおかしいです。

      解説を書きましたので読んでみてください。解説のやり方の方が、シンプルだと思いませんか?

  5. ファイティン より:

    すみません、途中記入ミスがありました。
    下記へ訂正します。

    ⇒ この式を解くと、a’x(当期変動販管費) = 100万 、 b’(固定販管費) = 100万

    以上よろしくお願いします。

  6. きゃろる より:

    上記先生の解説に合わせた方法で解いてみました。

    売上-変動費(x)-固定費(b)=営業利益

    当期=1000-x-b=200 ⇒ 800=x+b
    来期=1200-1.2x(前期よりも販売数が1.2倍なので)-b=300 ⇒ 900=1.2x+b

    この2つの方程式からx(変動費)=500で、来期変動費は1.2倍だから1.2×500で600、
    b(固定費)=300になりました。

    個人的には柴犬さんと同じで売上が200増加し、それに伴い製造原価と販売費の合計が100増加しているので、
    変動比率は100/200=0.5
    売上1200×0.5=600=変動費。
    営業利益は変わらないはずなので、逆算して、固定費=300にしましたがいかがでしょうか?

    1. pro-boki より:

      前半の解き方は、うーん、微妙かな。なぜかと言えば、変動費率は一定なので、これをaなどの文字にするのはいいんですよ。でも変動費というのは、当期と来期で変わるわけです。それをxとおくのはどうかと。もちろん、1.2xとやっていることから、xは、前期の変動費である、ということは分かりますし、それでも解けますけど、解き慣れていないな、という感じはします。

      後半の「個人的には柴犬さんと同じで売上が200増加し…」の解き方は良いと思います。

      結局、この問題、普通の高低点法の目先をちょこっと変えて出題しただけのつもりだったんですが、割と、みなさん、難しく考えすぎているようです。「ああ、あれと同じか」と見抜く目をどうやったら養ってもらえるのか、私自身の課題でもあります。

  7. ファイティン より:

    先生、解説をありがとうございました。
    解説の解き方、シンプルでよくわかりました。
    次の「方程式」の記事を読んだ後に、
    「あっ、1次関数理解していなかったなー」と気付いたのですが・・
    もう少し基礎力の練習が必要です・・

    高低点法と同じとは、これもまったく思いつきませんでした。
    操業度と製造原価の関係だけかと思っていました。しかもあまり問題を解いていません・・
    テキストⅡ-P.3-51の解説と比較して、縦軸が「費用」で横軸「売上」にして書いてみました。
    (900-800)÷(1,200-1,000)=変動費率0.5 とすれば早いです!(合っていますか?)

    1. pro-boki より:

      >テキストⅡ-P.3-51の解説と比較して、縦軸が「費用」で横軸「売上」にして書いてみました。(900-800)÷(1,200-1,000)=変動費率0.5 とすれば早いです!(合っていますか?)

      はい、そのとおりです。高低点法と思えば、あっという間に解けるでしょ?

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