簿記1級に必要な数学基礎力講座(比率)

簿記1級に必要な数学基礎力講座

簿記1級には、方程式、1次関数、割引計算など、小学5,6年生の算数から中学1,2年生レベルの数学の知識を必要とする論点がありますが、簿記スクールでは、あまり解説されません。

高校や大学で理系を選択された方はまだしも、何年も数学に触れていないという方にとって、小中学生レベルとは言え、算数・数学は決して簡単なものではありません。そして、ここがボトルネックとなり、簿記学習が進まないというケースもあるようです。

そこで「簿記1級に必要な数学基礎力講座」の記事を4回に渡って執筆します。遠回りのようでも、基礎的な数学力を付ける勉強をした方が、結果的に、1級合格への近道となります。是非参考にしてください。

必要な数学・算数の知識は主に4つ

簿記1級に必要な数学・算数の知識は、主に次の4つです。

比率

  • 商業簿記で出題される原価率、利益率、付加率(マークアップ率)
  • 標準原価計算における減損率、仕損率、歩留率など
  • 予算実績差異分析における市場占有率、プロダクトミックス率など
  • 加重平均関連(加重平均資本コスト率、加重平均貢献利益率など)
  • 業務的意思決定会計における設備稼働率や生産量の算定など

1次関数

  • 固変分解
  • CVP分析
  • 実査法変動予算における予算許容額の算定
  • 全部原価計算から直接原価計算への変換
  • 投資案の評価法における内部利益率法の計算(補間法)

方程式

  • 部門別計算の補助部門費配賦法の一つである連立方程式法
  • 直接原価計算における固変分解の一つである最小二乗法
  • 最適セールスミックスで登場する線形計画法(リニアプログラミング)

割引計算

  • 貸倒引当金(CF見積法)
  • 減損会計
  • リース会計
  • 退職給付会計
  • 償却原価法(利息法)
  • 資産除去債務
  • 設備投資意思決定会計

第1回 数学・算数講座 比率

それでは始めていきましょう。第1回は比率です。簿記の根幹をなす要素であり、至る所で登場します。また、実務でも頻繁に使います。それだけに正確かつスピーディに解けるようにしておきましょう。

比率の基本

比率とは複数の数値(ここでは便宜的に2つの数値)の関係性を表した値です。「AさんはBさんの1.5倍の年収」とか「新型機械は旧型機械の60%の製造時間」なんて言いますよね。この場合の「1.5倍」「60%」が比率にあたります。

比率と同じような意味合いで用いられる用語に「比」「率」「割合」「パーセント」などがあります。ニュアンスなども含めると厳密には相違点があるのですが、同じものと思って構いません。簿記上では全く問題ありません。

設例1(同じ要素の比較)

当期売上400万円、前期売上500万円とします。これを比で表すと、当期:前期=4:5 です。また、前期を基準として、当期の割合は?と言えば、4/5とも、0.8倍とも80%とも言えます。また20%減とも言えます。すべて同じことです。

この設例では比較対象が両方とも売上です。このように比較対象が同じ要素の場合は、どちらかを基準としてどちらかを比較するという形をとります。本問のように時系列のデータを比較するときは、前期を基準として、当期の増減を表示するように分析するのが一般的です。

設例2(部分と全体という関係にあるものの比較)

原価80円、売価100円とします。この場合、比で表すと、原価:売価=4:5 ですが、慣例としてこのように表示することはまずありません。この場合は、原価率80%とか利益率20%と表示することが一般的です。

この設例のように、比較対象が、原価と売価のように、部分と全体という関係性にある場合は、部分÷全体として比率を表示するのが一般的です。つまり、全体を基準とするのです。

なお、原価が部分で売価が全体というのは、ちょっと分かりにくいかもしれません。これは100円という全体の中に80円という原価と20円という利益が含まれている、という風に考えてください。

たとえば、合格率で考えてみてください。100人受験して80人合格なら、100人が全体で、80人が部分というのは理解しやすいと思います。この場合も、部分÷全体ですから、80÷100=80%で、合格率80%という表示をするのが一般的です。

設例3(価格、速度)

原料の取得原価80円、購入量100kgとします。原料の価格は、1kgあたり0.8円です。これも、割合であり、比率です。つまり価格とは、割合であり、比率なのです。(なお、同じ例で、1円あたり1.25kg購入できる、という表示をしてもおかしくはありません。ただし、簿記上でこのように表示することはほとんどありません。)

また、A設備では製品を80個製造するのに100分掛かるとします。製造速度は、1分あたり0.8個です。これも、割合であり、比率です。つまり速度とは、割合であり、比率なのです。(なお、同じ例で、1個製造するのに1.25分掛かる、という表示をしてもおかしくはありません。原価計算の問題では、このように表記されることもあります。)

比率の種類

比率にも様々な種類があり、きちんと区別しておく必要があります。

設例1(売価と原価)

A商品の原価率は80%、取得原価が400万円であるとき、その商品が全て売却出来るものとして、①利益率、②売価、③利益額、④付加率を求めなさい。

①利益率:1−原価率80%=20%
②売価:原価400万円÷原価率80%=500万円
③利益額:売価500万円×利益率20%=100万円
④付加率:利益額100万円÷原価400万円=25%

ここで、④付加率が聞き慣れないかもしれません。これはマークアップ率とも言います。同じ意味です。なお、日商の試験では見かけませんが、全経では出題実績があります。これは、原価に対していくら利益を付加したか、という意味です。利益率は、売価に対する利益額ですが、付加率は原価に対する利益額のことです。似て非なる比率ですのできちんと区別しましょう。

設例2(完成品量と減損量)

A製品の完成品量は80kg、投入量が100kgであるとき、①歩留率、②歩減率、③減損率を求めなさい。

①歩留率:80kg÷100kg=80%
②歩減率:1−歩留率80%=20%
③減損率:20kg÷80kg=25%

歩減率と減損率の関係は、設例1の利益率と付加率によく似ています。歩減率は、全体の投入量に対する減損量の比率です。減損率は、完成品量に対する減損量の比率です。これも、似て非なる比率ですのできちんと区別しましょう。試験問題を読む時は、どちらの率のことを言っているのかをきちんと意識しないと、混乱します。

比率の計算問題

商業簿記では、比率の計算自体が問題になることは、ほとんどありません。しかし、解答までの過程で比率の計算を行うことはありえます。また工業簿記および原価計算では、比率の計算自体が鍵となることもあります。しっかりマスターしましょう。

設例1

現商品から新商品に切り替えた所、利益率が15%向上し、その結果、1日あたり36万円の利益額の増加となった。1日あたりの売上高はいくらか。なお、現商品、新商品ともに1日あたりの売上高は同じであったとする。

【解答・解説】
36万円÷15%=240万円

設例2

現商品の利益率は40%である。新商品の利益率は25%である。現商品から新商品に切り替えた所、1日あたり36万円の利益額の減少となった。現商品の1日あたりの利益額はいくらか。なお、現商品、新商品ともに1日あたりの売上高は同じであったとする。

【解答・解説】
現商品の1日あたりの利益額をxとする。
1日あたり売上高は、x÷40%=2.5x
新商品での利益額は、2.5x×25%=0.625x
新商品に切り替えたことでの利益減少額は、x−0.625x=0.375x
よって、0.375x=36万円、x=96万円

設例3

現設備の減損率は40%である。新設備の減損率は25%である。現設備から新設備に切り替えた所、1日あたり36kg多く生産できた。現設備での1日あたりの生産量は何kgであったか。なお、現設備、新設備ともに1日あたりの原料投入量は同じであったとする。

【解答・解説】
現設備での生産量をxとする。
原料投入量は、x×(1+40%)=1.4x
新設備での生産量は、1.4x÷(1+25%)=1.12x
新設備に切り替えたことでの増産量は、1.12x−x=0.12x
よって、0.12x=36kg、x=300kg

設例4

当社の前期マーケットシェア率は10%であった。当期は前期に比べてマーケット全体の大きさが5%縮小すると見込まれている中、当社はマーケットシェア率12%を目指すことで112万円の売上増収を目指している。前期の売上はいくらであったか。

【解答・解説】
当社の前期売上をxとする。
前期のマーケット全体売上は、x÷10%=10x
当期のマーケット全体売上は、10x×(1−5%)=9.5x
当期の当社売上は、9.5x×12%=1.14x
当社の売上増収額は、1.14x−x=0.14x
よって、0.14x=112万円、x=800万円

加重平均の問題

設備投資意思決定における加重平均資本コスト率、複数製品のCVP分析における加重平均貢献利益率、配合差異・歩留差異を算定するにあたっての加重平均価格など、簿記では、加重平均◯◯という比率がたびたび登場します。加重平均については、何となく計算は出来るけど、しっかりと意味を理解出来ていない人もいるようです。ここでは、加重平均についてしっかり基礎から学習しましょう。

加重平均と単純平均

簿記1級の合格率は次のとおりだとする。この情報だけにもとづくとして、簿記1級の平均合格率は何パーセントか。

  第1回 第2回 第3回
合格率 8% 10% 12%

よく、スクールの資料に書かれている、簿記1級の平均合格率とは、上記のような前提にもとづいて計算されています。つまり、この場合、(8%+10%+12%)÷3=10% となり、簿記1級の平均合格率は10%であるとなるわけです。これを単純平均合格率といいます。単純に平均を取るから単純平均です。単純平均は、ほとんどの場合で、不正確です。なぜでしょうか。

たとえば、受験者数と合格者数が次のとおりだったとします。

  第1回 第2回 第3回 合計
受験者数 15,000人 5,000人 5,000人 25,000人
合格者数 1,200人 500人 600人 2,300人
合格率 8% 10% 12% 9.2%

すると3回の試験の合計では、25,000人受験して、合格者は2,300人だったわけです。したがって、正しい平均合格率は、2,300人÷25,000人=9.2% です。これが、加重平均合格率です。

つまり、単純に合格率の平均を取るのではなくて、受験者数という重みを付けて、平均を取るのです。15,000人受験した8%と5,000人しか受験していない10%や12%では、重みが異なるという考え方です。

加重平均資本コスト率

上記と全く同じ考え方で、加重平均資本コスト率も説明できます。

資本の調達コストは次のとおりだとする。この情報だけにもとづくとして、平均資本コスト率は何パーセントか。

  負債 純資産
利率 8% 12%

単純平均であれば、(8%+12%)÷2=10% です。しかし、負債と純資産の額および調達コストが次のとおりだったとします。

  負債 純資産 合計
調達額 15,000万円 5,000万円 20,000万円
調達コスト 1,200万円 600万円 1,800万円
資本コスト率 8% 12% 9%

すると総資本調達額、20,000万円であり、その調達コストは1,800万円だったわけです。したがって、正しい平均コスト率は、1,800万円÷20,000万円=9% です。これが、加重平均資本コスト率です。

つまり、単純に資本コスト率の平均を取るのではなくて、調達額という重みを付けて、平均を取るのです。なお、試験で出てくる加重平均資本コスト率においては、負債はタックスシールドを考慮するためもう少し計算は複雑になりますが、考え方は上記のとおりです。

加重平均の本質

ここまで見てきてみなさんも感じていると思いますが、加重平均というのは、単に普通の平均のことです。みなさんも平均の計算をしようと思えば、無意識のうちに加重平均の計算をしているはずです。むしろ、単純平均は、概算値としての利用価値しかありませんから、利用される範囲は限られます。

たとえば、工業簿記の総合原価計算の原価配分方法には先入先出法と平均法がありますが、ここでいう平均法も、正確には、加重平均です。だって、月初単価が12円/kgで、当月単価が8円/kgだとして、平均法による単価を算定しようとして、10円/kgとして計算しますか?しませんよね。

月初材料と当月購入材料が何kgあるかにもとづいて計算するはずです。仮に、月初材料が5,000kg、当月購入材料が15,000kgだったら、次のように計算します。

(12円/kg×5,000kg+8円/kg×15,000kg)÷(5,000kg+15,000kg)=9円/kg

つまり、簿記2級の時点からして、平均法は、無意識のうちに加重平均をとっていたわけです。

さいごにクイズ

簿記に必要な数学・算数講義の第1回目として比率について解説しました。上記設例がしっかりマスター出来れば、簿記1級レベルでも十分に対応できます。比率に関連した論点なら取りこぼすことはないでしょう。

さて、最後に、この比率に関連したクイズを出しましょう。みなさん考えてみてください。

「A地点からB地点まで、行きは時速60km、帰りは時速40kmで往復するとして、平均時速は何kmか。」

1つだけ、ヒントを。時速50kmではありません。 

クイズの答えと解説(クリックで開きます)

答えは時速48km、解き方は、皆さんからコメントのとおりです。皆さん素晴らしい!

さて、なぜ、このクイズを出題したのか。これ、加重平均の記事を書いていて、ふと思ったんですね。単純平均は何がいけないのかと。記事にある1級合格率を例に考えてみましょう。合格率というのは、合格者数÷受験者数ですよね。で、受験者数は毎回違うわけです。このように、分母が異なる率を同列に扱うからおかしくなるのです。まず、この感覚を持って欲しいと思います。

そこで、クイズですが、
行きの時速60kmは、AB間の距離÷行きの時間=時速60kmですよね。
帰りの時速40kmは、AB間の距離÷帰りの時間=時速40kmです。
ということは、行きの時間と帰りの時間は当然違うので、分母は異なります。分母が異なる数値を単純平均してはいけません。

ということで、この問題は「単純平均を取ってはいけない」ということに気付くことが大切です。それが分かってしまえば、AB間の距離をXとおいてもいいし、仮に1とおいてもいい。最小公倍数である120kmにするとより計算しやすいかもしれないですね。いずれにしても、計算自体は簡単です。

ちなみに、A地点からB地点まで12時間掛けて電車で行くとします。12時間のうち6時間は時速60kmで、残りの6時間は時速40kmで行くとすると、平均時速は何kmか?という問題だったら、もうこれは、瞬間的に時速50kmと答えて頂きたいのです。

なぜなら、時速というのは繰り返しますが、分母が時間です。その時間が6時間づつと、同じなのですから、単純平均をとってしまっていいわけです。分母が同じなら同列に扱えます。

このように、平均を取る時(に限らないのですが)、2つの数値の分母はどうなっているんだろう?ということを意識するとケアレスミスしにくくなると思います。


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簿記1級に必要な数学基礎力講座(比率)” に対して1件のコメントがあります。

  1. いちきろう より:

    こんにちは

    片道1kmの道と仮定して計算し時速48kmとでました。(やり方がよく分からず)

    加重平均という言葉を知りませんでした。普通な平均のことなんですね。文中の「質的に違う」という表現がややよくわかりませんでした。
    基本的に普通の平均なんだなとしか思わなかったので…

    1. pro-boki より:

      はい、正解です。速いですね!

  2. いちきろう より:

    失礼しました質的に違うではなく文中の「重みが異なる」でした。

    1. pro-boki より:

      「重みが異なる」というのは、本例で言えば、
      「1級の試験の合格率は8%だ」と言う人が15,000人いて、
      「1級の試験の合格率は10%だ」と言う人が5,000人いて、
      「1級の試験の合格率は12%だ」と言う人が5,000人いたとしたら、

      それらを同列に扱って、じゃあ平均とって10%だよね、とはならないよね、ということです。
      やはりこの中では、15,000人の声が重要視されるわけです。他は5,000人しかいませんから。つまり、単に合格率だけではなく、それを言っている人が何人いるかという人数の大きさまでも加味して平均を取ることを、加重平均といいます。
      この場合、同列に扱えば平均は10%ですが、15,000人の8%に重みが付くので、10%よりは8%の方向へ傾くはずです。実際に計算しても9.2%と、そのとおりになっています。

  3. 熱男 より:

    富久田先生

    こん○○は。

    このクイズと全く同じ問題を、小学生の息子に説明することがありましたが、
    xを使えず、苦労しました…。

    頭が固まっていて、すぐxやらyやら置いてしまうので、
    小学生が解法で用いるつるかめ算をはじめ□△算は、難しいです…

    1. pro-boki より:

      分かります、分かります。

      むしろ、小学生の解き方のほうが難しいですよね。
      確か、つるかめ算とか、鶴を0匹と仮定して、そのときの足の数の差を出して、もし鶴が1匹増えたら、足の数の差がどうなるか、って感じでやっていくんでしたよね。方程式使ったら瞬殺じゃん、とも思います。
      でも、そういう解き方もパズルみたいで味わいあって、結構好きだったりします。

  4. cafe より:

    ABの距離をXキロとすると、

    行きは、X/60時間
    帰りは、X/40時間

    走行距離は、2Xキロ

    時速は、
    2X/(X/60+X/40)=(2×60×40)/(40+60)=48

    時速48キロ

    1. pro-boki より:

      はい、完璧です。

  5. ファイティン より:

    先生、こんばんは。クイズやってみました。

    A→Bの往復であるので、距離は同じです。
    時速が違うので、時間に注目しました。

    行き→ 時速60kなので、1時間(h)で、距離は60kmとします。 60km/時速60k = 1h
    帰り→ 時速40kなので、距離60km/時速40k = 1.5h
    往復→ 1h + 1.5h = 2.5h / 2 = 1.25h (平均時間)
    平均時速 → 60km/1.25h = 時速48k

    結局、時速60k/40k = 1.5倍時間かかるので、これから算出したほうが良かったかもしれません。

    1. pro-boki より:

      はい、こちらも完璧です。

  6. ファイティン より:

    【比率の計算問題】が難しかったです。(まだマスターできていません・・)
    特に下記の計算式なのですが・・・
    設例2) 1日あたりの売上高⇒ X ÷ 40% = 2.5X →これは 1 ÷ 0.4 =2.5X となおす。
    設例4) 前期のマーケット全体売上⇒ X ÷ 10% = 10X →これも1 ÷ 0.1 = 10X となおす。
     
    設例3) 原料投入量は、X x (1 + 40%) = 1.4X
    → この式は、生産量に対して投入は1.4倍(必要)であるので。
    以上の理解で合っていますでしょうか?
    計算式をスムーズにたてて、その式を解いていけるようになればいいのですが・・・
    まだ時間かかりそうです。。

    1. pro-boki より:

      はい、そうですね。
      0.1 と 10% と 1割 は、全く同一のものです。表記方法が違うだけです。
      実際、%表示のある電卓でしたら、例えば、1÷40% と押しても、 1÷0.4= と押しても同じ結果になります。(CANONとシャープの場合です。カシオは実験していません。)

      >設例3) 原料投入量は、X x (1 + 40%) = 1.4X
      >→ この式は、生産量に対して投入は1.4倍(必要)であるので。
      >以上の理解で合っていますでしょうか?

      はい、あってます。そのとおりです。
      設例3は減損率ですから、生産量に対して、40%減損するわけです。
      投入量は、生産量(1)+減損量(0.4) ですから、生産量の1.4倍です。

  7. pro-boki より:

    富久田です。

    クイズの出題意図を記事中に追記しましたので、よろしかったらご参照ください。

  8. きゃろる より:

    すみません。大学は数学選考だったのに、卒業してからかなり経つので頭がガチガチです。
    自分でもビックリするぐらい、頭が回らなくて一見たいしたことない問題のはずなのに、非常に時間が掛かりました。

    設例2に関してですが、なぜこんなに複雑な計算をしなければならないのですか?
    現商品、新商品ともに1日の売上高が同じなのであれば、
    40%-25%=15%=36万円分の利益ということですよね?
    それなら、設例1と同じで
           36万/0.15=240万(1日の総売り上げ)
           240万x40%=96万
    ではだめなのでしょうか?

    1. pro-boki より:

      はい、その計算でOKです。その方が簡単ですよね。良いと思います。

      なぜ、面倒な式にしたかというと、次の2つの理由からです。

      1.設例3と比較して欲しいため。一見すると全く同じような数値設定に見えますが、片や利益率で片や減損率です。そうなると計算式も異なるものになります。どこがどう異なるのか、相違点を意識して欲しいと思い、設例3と対比できるような解き方にしました。

      2.解き慣れてくると、きゃろるさんの言うように、ショートカットルートが見えますよね。しかし、ショートカットルートは「何をxと置けばいいのか」が難しいのです(慣れてくると直感的に分かるものですが)。本問の場合は、最初に売上高を求めた方が速く解けそうということに気付けるのは、数学的センスを感じます。現に私もそうやっています。(その誘導のために設問1を用意しています)。しかし、解き慣れていない方は、そもそも何をxにしていいのか分からない、という点で悩みます。そこで、とにかくそういうときは、解答要求されているものをxとすれば解けるよ、と教えています。その解き方に合わせた解説にしました。

  9. きゃろる より:

    ご説明ありがとうございます。
    確かに先生の方法は設例3と比較しやすいですね。
    私は全然解き慣れていないですよ。
    今回すべて棒グラフを描いて、そこに文字や数字やらを入れて
    設例3は連立方程式で解きました。
    でもそれだと解答は出せるのですが時間が掛かりました。
    先生の式も、どうしてそのような式になるのかグラフを描いて比較して
    さすが先生の計算方法の方が早いなと思いました。
    時間短縮のため、グラフを描かなくても解けるように頑張ります。

    1. pro-boki より:

      慣れは大きいと思います。簿記で出題されるのは、ここに示した設例くらいです。これ以上複雑な問題は出ないと思いますので、練習して慣れて頂ければ、素早く解答出来るようになると思います。なお、頭を整理するために棒グラフを書くのはいいと思います。私も最初の頃はそうやっていました。

  10. ファイティン より:

    先生、解説をありがとうございました。
    設例の式で解いてく意味と流れがよくわかりました。

    数学的な解き方は、私も自信がないです・・・
    方程式がたてられなかったり、時々解き方もわからなくなるときがあります。
    (解き方の質問もするかもしれません・・よろしいでしょうか?)
    必要な数学基礎力をつけていきたいです。

    1. pro-boki より:

      >方程式がたてられなかったり、時々解き方もわからなくなるときがあります。

      次の記事は方程式の立て方と解き方を書こうと思っています。これも、苦手意識があると1級合格に向けてのハンデとなってしまうので、クリアしていただきたいです。

      >(解き方の質問もするかもしれません・・よろしいでしょうか?)

      はい、もちろんです。簿記の試験のためになることなら、何でもお答えしたいと思っています。

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